Matematika
Obsah a obvod trojuholníka
Zadajte, čo o trojuholníku viete - tri strany, stranu a výšku, odvesny, rameno či uhol - a kalkulačka vypočíta obsah, obvod, výšky a uhly. Zároveň určí, či je trojuholník pravouhlý, ostrouhlý alebo tupouhlý.
Tvar
Trojuholník
Výsledok
—
Zadajte rozmery.
Obsah trojuholníka - vzorec
Základný vzorec je strana krát výška na túto stranu, deleno dvoma:
S = a · vₐ ÷ 2
Trojuholník so stranou 8 cm a výškou 5 cm má obsah 8 · 5 ÷ 2 = 20 cm². Ak poznáte iba tri strany, použite Heronov vzorec: najprv polovicu obvodu s = (a + b + c) ÷ 2 a potom S = √(s · (s − a) · (s − b) · (s − c)). Pre strany 5, 6 a 7 cm je s = 9, takže S = √(9 · 4 · 3 · 2) = √216 = 14,70 cm². Z dvoch strán a uhla medzi nimi platí S = a · b · sin γ ÷ 2 - napríklad 5 cm, 7 cm a 60° dávajú obsah 15,16 cm².
Obvod trojuholníka - vzorec
Obvod je súčet všetkých troch strán: O = a + b + c. Pre strany 5, 6 a 7 cm je to 18 cm. Pri rovnoramennom trojuholníku platí O = a + 2 · b (základňa a dve rovnaké ramená), pri rovnostrannom O = 3 · a. Z jednej strany a výšky sa obvod určiť nedá - výška nehovorí nič o dĺžke zvyšných dvoch strán, preto kalkulačka v tomto režime zobrazí len obsah.
Pravouhlý trojuholník
Odvesny a, b zvierajú pravý uhol a prepona c je najdlhšia strana. Spája ich Pytagorova veta c² = a² + b², takže prepona je c = √(a² + b²): pri odvesnách 6 a 8 cm je prepona 10 cm. Obsah je polovica súčinu odvesien, S = a · b ÷ 2 = 24 cm², a výška na preponu vc = a · b ÷ c = 4,8 cm.
Praktická skúška pravého uhla, ktorú používajú murári pri vytyčovaní základov: od rohu odmerajte 60 cm po jednej strane a 80 cm po druhej. Ak je vzdialenosť medzi značkami presne 100 cm, uhol je pravý. Funguje to preto, lebo 60-80-100 je násobok trojice 3-4-5.
Rovnoramenný a rovnostranný trojuholník
Rovnoramenný trojuholník má dve rovnaké ramená b a základňu a. Výška na základňu ju delí na polovice, preto v = √(b² − (a ÷ 2)²) a obsah S = a · v ÷ 2. Pri základni 6 cm a ramenách 5 cm je výška 4 cm, obsah 12 cm² a obvod 16 cm; uhly pri základni sú rovnaké (53,13°).
Rovnostranný trojuholník má všetky strany rovnako dlhé a všetky uhly 60°. Výška je v = √3 ÷ 2 · a ≈ 0,866 · a a obsah S = √3 ÷ 4 · a² ≈ 0,433 · a². Pri strane 6 cm je výška 5,196 cm a obsah 15,588 cm².
Druhy trojuholníkov podľa uhlov
Súčet uhlov v každom trojuholníku je 180°. Podľa najväčšieho uhla rozlišujeme trojuholník ostrouhlý (všetky uhly menšie ako 90°), pravouhlý (jeden uhol presne 90°) a tupouhlý (jeden uhol väčší ako 90°). Zo strán to zistíte porovnaním a² + b² s c², kde c je najdlhšia strana: rovnosť znamená pravouhlý, väčší súčet ostrouhlý a menší tupouhlý. Kalkulačka uhly počíta kosínusovou vetou cos α = (b² + c² − a²) ÷ (2 · b · c) a druh trojuholníka vypíše pod výsledkom.
Tabuľky hodnôt
Pravouhlé trojuholníky s celočíselnými stranami (pytagorejské trojice) sa hodia do úloh aj na vytyčovanie pravého uhla v dielni či na stavbe. Hodnoty sú vypočítané rovnakými vzorcami ako v kalkulačke.
Pravouhlý trojuholník: odvesny → prepona, obvod, obsah
| Odvesny a, b | Prepona c | Obvod O | Obsah S | Výška na preponu |
|---|---|---|---|---|
| 3 a 4 cm | 5 cm | 12 cm | 6 cm² | 2,4 cm |
| 5 a 12 cm | 13 cm | 30 cm | 30 cm² | 4,61538 cm |
| 6 a 8 cm | 10 cm | 24 cm | 24 cm² | 4,8 cm |
| 7 a 24 cm | 25 cm | 56 cm | 84 cm² | 6,72 cm |
| 8 a 15 cm | 17 cm | 40 cm | 60 cm² | 7,05882 cm |
| 9 a 12 cm | 15 cm | 36 cm | 54 cm² | 7,2 cm |
| 9 a 40 cm | 41 cm | 90 cm | 180 cm² | 8,78049 cm |
| 12 a 16 cm | 20 cm | 48 cm | 96 cm² | 9,6 cm |
| 60 a 80 cm | 100 cm | 240 cm | 2 400 cm² | 48 cm |
Rovnostranný trojuholník: strana → výška, obsah, obvod
| Strana a | Výška v | Obsah S | Obvod O |
|---|---|---|---|
| 1 cm | 0,866025 cm | 0,433013 cm² | 3 cm |
| 2 cm | 1,73205 cm | 1,73205 cm² | 6 cm |
| 3 cm | 2,59808 cm | 3,89711 cm² | 9 cm |
| 4 cm | 3,4641 cm | 6,9282 cm² | 12 cm |
| 5 cm | 4,33013 cm | 10,8253 cm² | 15 cm |
| 6 cm | 5,19615 cm | 15,5885 cm² | 18 cm |
| 8 cm | 6,9282 cm | 27,7128 cm² | 24 cm |
| 10 cm | 8,66025 cm | 43,3013 cm² | 30 cm |
| 12 cm | 10,3923 cm | 62,3538 cm² | 36 cm |
| 15 cm | 12,9904 cm | 97,4279 cm² | 45 cm |
| 20 cm | 17,3205 cm | 173,205 cm² | 60 cm |
Ďalšie tvary
Časté otázky
Ako vypočítam obsah trojuholníka?
Základný vzorec je strana krát výška na ňu, deleno dvoma: S = a · vₐ ÷ 2. Trojuholník so stranou 8 cm a výškou 5 cm má obsah 8 · 5 ÷ 2 = 20 cm². Pri pravouhlom trojuholníku sú výškami priamo odvesny, takže S = a · b ÷ 2.
Ako vypočítam obsah trojuholníka, keď poznám len tri strany?
Heronovým vzorcom. Najprv vypočítajte polovicu obvodu s = (a + b + c) ÷ 2 a potom S = √(s · (s − a) · (s − b) · (s − c)). Pre strany 5, 6 a 7 cm je s = 9, takže S = √(9 · 4 · 3 · 2) = √216 = 14,70 cm². Kalkulačka v režime „Tri strany“ dopočíta aj výšky a uhly.
Ako vypočítam obvod trojuholníka?
Sčítajte všetky tri strany: O = a + b + c. Pre strany 5, 6 a 7 cm je obvod 18 cm. Pri rovnoramennom trojuholníku je to O = a + 2 · b (základňa plus dve ramená), pri rovnostrannom O = 3 · a. Z jednej strany a výšky sa obvod určiť nedá.
Ako zistím, či je trojuholník pravouhlý?
Pytagorovou vetou: ak pre najdlhšiu stranu c platí a² + b² = c², trojuholník je pravouhlý. Strany 3, 4, 5: 9 + 16 = 25, takže áno. Ak je a² + b² väčšie ako c², je ostrouhlý, ak menšie, tupouhlý. Kalkulačka tento test robí automaticky a vypíše druh trojuholníka.
Koľko je súčet uhlov v trojuholníku?
Vždy 180°. Ak poznáte dva uhly, tretí dopočítate odčítaním od 180°. V pravouhlom trojuholníku pripadá 90° na pravý uhol a zvyšné dva uhly dávajú spolu 90°. V rovnostrannom trojuholníku má každý uhol presne 60°.
Čo je výška trojuholníka a ako ju vypočítam?
Výška je kolmá vzdialenosť vrcholu od protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri výšky - na každú stranu jednu. Z obsahu ju vypočítate ako vₐ = 2 · S ÷ a. Pri rovnoramennom trojuholníku platí v = √(b² − (a ÷ 2)²), pri rovnostrannom v = √3 ÷ 2 · a ≈ 0,866 · a.